【ln sup2 x的原函数是什么】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是常见的问题。对于函数 $ \ln^2 x $，其原函数并不是特别直观，需要通过分部积分法进行推导。本文将总结 $ \ln^2 x $ 的原函数，并以表格形式展示相关公式和步骤。
一、原函数推导过程
设 $ f(x) = \ln^2 x $，要求其原函数，即求：
$$
\int \ln^2 x \, dx
$$
使用分部积分法，令：
- $ u = \ln^2 x $，则 $ du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx $
- $ dv = dx $，则 $ v = x $
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - \int x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln^2 x - 2 \int \ln x \, dx
$$
接下来计算 $ \int \ln x \, dx $，同样使用分部积分法：
- $ u = \ln x $，$ du = \frac{1}{x} dx $
- $ dv = dx $，$ v = x $
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C
$$
因此，
$$
\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2 (x \ln x - x) + C = x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C
$$
二、总结与公式表
| 函数 | 原函数（不定积分） | 备注 |
| $ \ln x $ | $ x \ln x - x + C $ | 常用积分公式 |
| $ \ln^2 x $ | $ x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C $ | 通过分部积分法推导得出 |
三、注意事项
- 在计算过程中，分部积分法是解决含对数函数积分的关键工具。
- 对于更高次幂的对数函数（如 $ \ln^n x $），也可以采用类似方法逐步降幂求解。
- 实际应用中，常需结合具体上下限进行定积分计算。
通过以上分析可以看出，虽然 $ \ln^2 x $ 的原函数看似复杂，但通过合理的积分技巧可以顺利求出。掌握这类积分方法，有助于提升对微积分的理解与应用能力。