问如何用向量计算点到平面的距离

【如何用向量计算点到平面的距离】在三维几何中，计算一个点到一个平面的距离是一个常见的问题。利用向量方法可以简洁、准确地解决这个问题。本文将总结点到平面距离的计算方法，并以表格形式展示关键步骤和公式。

一、核心概念

- 点：空间中的一个坐标 (x₀, y₀, z₀)

- 平面：由方程 Ax + By + Cz + D = 0 表示

- 法向量：平面的法向量为 $\vec{n} = \langle A, B, C \rangle$

- 点到平面的距离：从点 P 到平面 π 的最短距离，即垂直距离

二、计算公式

点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距离 $d$ 可用以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- 分子是点代入平面方程后的绝对值；

- 分母是法向量的模长。

三、步骤总结（表格形式）

四、实例演示

假设点 $P(1, 2, 3)$，平面方程为 $2x - 3y + 6z - 12 = 0$

- $A = 2$, $B = -3$, $C = 6$, $D = -12$

- 点代入得：$2(1) - 3(2) + 6(3) - 12 = 2 - 6 + 18 - 12 = 2$

- 绝对值为 $2 = 2$

- 法向量模长：$\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

- 距离 $d = \frac{2}{7}$

五、注意事项

- 平面方程必须写成标准形式 $Ax + By + Cz + D = 0$；

- 若已知平面的点法式方程或参数式方程，需先转换为一般式；

- 公式适用于所有三维空间中的点和平面，不依赖于坐标系选择。

通过以上步骤和公式，可以系统地计算出任意点到平面的垂直距离。这种方法不仅直观，而且便于编程实现，在工程、计算机图形学、物理等领域有广泛应用。