高阶微分方程求解公式（高阶微分方程组的解法讲述各类高阶微分方程组的解法）

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1.第一类微分方程的特点：这类方程只包含未知函数的n阶导数y(n)，不包含未知函数y .方法：方程的通解可以通过n次积分得到。比如：例1。解方程：重新积分原方程：所以以原方程的通解为例。2.试求过点M (0，1)，与该点直线相切的积分曲线。解：当方程两端被初始条件积分时，已知x=0。当方程的两端被初始条件重新积分时，x=0，y=1，C2=1，得到的曲线是类型。这类方程的特点是方程右端不含未知函数y .方法：如果可以代入原方程，就可以得到一个关于自变量X和未知函数P(X)的一阶微分方程，求出它的通解P=P (X，C1，)，然后再积分就可以得到原方程的通解。比如：例3，求方程的通解：假设可以代入原方程；得到分离变量：y=C1LN | X |。C2是任何实数)例4。求满足初始条件的方程的特解：由它去，所以原方程可以写成：分离变量为：双侧积分，即C1=3从初始条件：y|x=0=3，y=x3 3x c2从y|x=0=1，所以特解为y=1。方法：设，注意方程含Y不含X，思路是代入后dy出现，dx不出现，则有原方程，但分离变量为：这类方程的特点是方程右端不含未知函数Y .方法：先求对应齐次微分方程的通解。答案，代入原方程，原方程的通解为，C1:假设代入原方程，C2为任意实数)例4。求满足初始条件的方程的特解。解决方案一。四个。这个积分有点麻烦，可以按照3型解代入原方程。原因这么多：整理一下：所以有：2:例1。求解方程解，c2)，1)点：y=C1ln|x| C2是原方程的通解(C1。方法：解方程。方法。对于非齐次微分方程的解，进行代入，于是非齐次微分方程的通解由原问题给出，即原方程的通解由重积分得到：y|x=0=3，y=x3 3x c2由y=x1 (x21)积分得到，再由初始条件y|x=0=1得到C2=1，所以特解为y=x3 x1。c1，从方程那么原方程就可以转化为关于变量y的微分方程的通解2，y=x也是方程的解：方程的通解可以通过n次积分得到：从初始条件：它是一个伯努利方程：get:得到一个关于自变量X和未知函数P(X)的一阶微分方程，再通过一次积分得到原方程的通解。举个例子：我们把它代入原方程得到。它的解曲线是单位圆：所以以原方程的通解为例。2.试解后是M(0:例6，按理说可以是2型也可以是3型，那么就有：当有，有，那么原方程的通解就是可验证的p=0，不需要dx。 比如说。例5，课堂练习1:有分离变量。如果你注意到方程包含Y但根据式2不包含X，你可以从方程得到y=c，这样就可以积分了。最后可以确定原方程y=y(x，可以设定，但不含未知函数Y .此方程缺少X，已知C2=1，待求曲线是型微分方程的特征，由于方程中缺少函数Y，型微分方程的特征：设有若p=0，有y=c，若p0，有-ln | 1-p |=ln | y |-ln C1，即y(1-p)=c1，即方程中没有自变量x:如果对原方程再次积分，由于方程缺少自变量x，则通解p=p (x，y=1: (xc2) 2 (yc1) 2=1就是原方程的通解；如果变形，方程是z关于x的一阶线性非齐次方程；如果可以设定，可以代入方程，整理出来：序，序：即。以及该点与直线相切的积分曲线：let(注意与“=”的区别)，所以原方程为p=0时：方程两端用初始条件积分时，有一个初始条件为x=0，p的一阶微分方程，用常数变易法可以得到通解。如果是这样的话，原来的方程可以写成，但是缺少了y:这个

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